分析铰链柔性结构与振动模态

        航天器中大量使用大型柔性结构，如太阳帆板、空间站柔性机械臂等，采用超轻、超薄的材料，这是为了提高运载工具的效率和降低发射成本，增加有效载荷的重量． 这类结构的阻尼小、低阶振动模态频率低，太空中无空气阻尼． 当航天器机动、变轨、调整姿态、空中对接或外部干扰或等激励的作用下很容易引发太阳帆板结构的振动问题． 另外，航天器在轨运行时日夜转换导致结构温度骤然变化，会引起热诱发振动热颤振．
        振动将会影响航天器的指向精度及精密仪器的正常工作，亦会引起部件的疲劳和损伤，甚至导致航天器失效． 因此，对这些柔性结构的振动控制问题已越来越为人们所重视．在航天器运输和发射过程中，太阳电池阵收拢并压紧在卫星表面; 入轨后，太阳电池阵通过盘簧产生的力矩自动展开到位并锁定． 现代航天器上的太阳翼、大型天线等柔性附件可视为以铰链作为连接器构成的铰接结构，铰链是铰接结构的重要部件．
        铰接柔性结构本质上是分布参数系统，铰链柔性带来附加的自由度，铰链引入的非线性因素严重影响系统的动力学特性．
        组成铰链机构的各铰链均为可活动部件，给太阳电池阵的建模和分析带来很大难度．针对铰接柔性板系统的振动控制问题，要考虑传感器和驱动器的优化配置、可控性和可观性，以及控制策略研究，因此需对铰接板结构系统进行建模研究及振动模态分析．关于铰链连接柔性结构中铰链建模研究主要有: 对铰链的非线性特性和航天器铰接结构非线性动力学特性研究．
        对铰接帆板结构铰链建模，给出了几种处理方法: 直接将铰链作为一个独立的实体进行有限元建模和求解; 将铰链简化为梁模型;将铰链简化为微扭弹簧; 将连接结构简化为弹簧———阻尼单元．等效梁方法是早期太阳电池阵模态分析时常用的方法之一，简单但误差较大，与铰链实际状况相差甚远． 等效弹簧与直接刚度测量方法均与铰链实际状况接近，但等效弹簧的刚度识别比较繁杂．
        在对具有刚性运动基的采用铰链扭簧机构连接的折叠式柔性板结构进行主动控制研究时，铰链扭簧机构建模处理尤其困难，所以采用了基于结构辨识的实验建模方法．另外，太阳帆板要指向太阳，所以有些太阳帆板与航天器连接处通过电机和谐波减速器驱动实现．谐波减速器具有柔性关节的特性，对谐波减速器的建模可参考谐波驱动的柔性关节机械臂相关研究．关于对柔性关节的柔性臂的建模与控制进行研究，Fenton 等研究了通过柔性关节连接的柔性机械臂的模型，并分析了柔性关节扭转刚度和柔性机械臂的刚度对系统的模态的影响; Al-Bedoor 等对柔性关节和柔性杆组成的柔性臂建模研究; 以及研究了耦合的柔性轴和柔性梁的动态行为．
        这些对谐波驱动柔性关节建模提供很好的借鉴．铰接结构的振动由柔性板和柔性铰链共同产生，因此系统的动力学模型要复杂的多． 本文考虑采用扭转弹簧的一种铰链等效方法对铰接柔性板结构振动模态进行研究和分析． 由于实际的太空帆板结构大多都比较复杂，如铰接的柔性板结构，多个铰链连接的边界条件使得解析法建模困难，很难找到解析解． 因此考虑利用有限元法建模． 本文针对铰接柔性板结构，分析了有限元建模思路; 并利用有限元软件ANSYS 分析几种铰链刚度情况下的铰接柔性板结构的前几阶模态曲面及模态频率，以及铰链刚度对铰接柔性板结构振动特性的影响．
        1 问题描述
        航天器的太阳能帆板结构常采用铰链连接三块或者四块组合板，在发射时折叠，入轨后展开锁定．这里给出一种柔性铰链连接三块板展开锁定结构示意图如图1 所示，包括三角架、太阳帆板驱动机构、柔性铰链和柔性板． 连接方式为: 相邻的两块板之间、板和三角架之间以及三角架和太阳帆板驱动机构之间通过一对铰链进行联接，铰链分别在连接处的上下两端各安装一个，其扭转轴沿竖直方向，称为竖直( 纵向) 铰链; 而太阳帆板驱动机构与固定端通过一个铰链联接，扭转轴沿水平方向，称为水平( 横向) 铰链．在图1 中，1为固定边界，2为水平铰链，3为太阳帆板驱动机构，5为连接三角架，4、6、8 和10 为竖直铰链，7、9 和11 为柔性基板结构． 竖直铰链共有四对，其中连接板的三对分别连接于板的一条边的两个角，另一对连接三角架和太阳帆板驱动机构．
        这里考虑驱动太阳帆板在对准太阳转动时，转动关节及减速器引起的柔性关节因素，所以引入了水平铰链2，在分析计算时，设定水平铰链的刚度比竖直铰链刚度要大．上述示意图已经对实际航天器的太阳帆板结构进行了简化，将铰链在小范围运动近似为线性扭转弹簧，并且一端与固定边界连接． 这与实际太阳帆板结构有一些区别，实际的航天器太阳帆板与本体相连，本体在轨运行，不是固定的． 实际的太阳帆板结构大多为蜂窝夹层板结构，而这里近似用各向同性板材料来近似分析． 并且，实际的太阳能帆板结构的铰链存在间隙、非线性弹簧等特点． 这里主要考虑在小范围的振动特性和建模思路，因此做了近似线性简化． 也就是说，在动力学建模和分析时，柔性关节采用了简化模型，将铰链的模型一种线性扭转弹簧模型近似分析．
        2 铰接板结构有限元建模
        2． 1 薄板结构
        横向振动所谓薄板，就是板结构的厚度hp与板较小边的边长bp之比满足: 180 ～ 1100 ≤hpbp≤ 15～ 18．
        弹性薄板横向振动理论建立在Kirchhoff － Love 假设的基础上，对薄板小挠度理论的基本假设: ( 1) 变形前垂直于中面的直线线段，变形后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度不变． ( 2) 垂直于板中面方向的应力较小，可以忽略不计．对于各向同性薄板结构，横向无阻尼振动方程为［14］Dp4x4 + 2 4x2y2 + 4y ( ) 4 w x，y ( ，t) +ρphp2w x，y ( ，t)t2 = q x，y ( ，t) ( 1)其中: Dp = Ephp312( 1 － μ2 )为板的抗弯刚度; w x，y ( ，t) 为板的横向振动位移; q x，y ( ，t) 为外负载; Ep为板材料的弹性模量; μ 为板材料的泊松比; ρphp为单位面积上的质量; hp为板的厚度; ρp为板材料密度．采用解析法对板结构分析时，一般对于规则的板并且边界条件相对简单的．
        对于本文分析的铰接板结构，边界条件相对复杂，所以考虑采用有限元分析进行建模．
        2． 2 四节点板单元分析
        四节点板单元每个节点均包括3 个自由度，即挠度w、旋转角度θx = wy和θy = － wx，因此该单元总共有12 个自由度．考虑到完备性和协调性的要求，选取该单元节点的位移及旋转角的方程如下设四节点板单元的长度为2a，宽度为2b． 其原点在单元的中心，并把ε 和η 定义在－ 1 和1 之间．利用插值函数，将挠度表示成节点位移变量的形式:w = [ N] {δe } ( 3)其中: [ N] = ［Ni Nj Nm Nn］为四节点矩形板单元的形函数; 子矩阵为[ N ]i = ［Nk Nxk Nyk］.
        2． 3 铰接柔性板建模太阳帆板的基板与基板之间以及三角架与基板之间的纵向铰链，是航天器入轨后太阳帆板展开和锁定的铰链． 铰链的力学特性存在非线性因素． 本文在分析时进行了简化，即将非线性铰链考虑相对小范围的转动时，近似为线性的扭转弹簧． 考虑到变形相对不是很大的情况，铰链简化为线性扭转弹簧．
        这样，第i 个扭转弹簧的弹性势能Ei为Ei = Ki2 ( Δθ )i2 ( 8)式中，Ki第i 个铰链等效为扭转弹簧的扭转刚度，Δθi表示相应扭转弹簧的扭转角．在铰接柔性板结构建模时，对板结构按四节点板单元的有限元进行离散化，在铰链连接处的两个板的板单元的边界按铰链连接扭转弹簧单元进行连接． 这样通过单元组装后，得到整个结构的有限元动力方程如下:M¨δ + Kδ = F ( 9)式中，M、K、F 分别为质量矩阵、刚度矩阵和力矢量．这样，建立的有限元模型可以分析振动特性，并可用来进行振动控制策略及算法的仿真研究．
        3 铰接柔性板结构模态分析
        为了直观地了解铰接板的模态曲面和特性，以及铰链刚度对柔性板模态及频率特性的影响，这里采用有限元软件ANSYS 进行模态分析．
        铰链和柔性板结构连接的边界条件设定为由扭转弹簧连接的边界条件．在利用有限元软件进行分析和计算时，忽略铰链的质量，由于太阳帆板在太空微重力情况，不考虑重力的影响． 柔性板材料选取铝合金材料，结构尺寸和材料力学特性如表1 所示． 在分析计算时，纵向( 竖直) 铰链的扭转刚度分别选取0． 05 Dp，0． 25Dp，1Dp，5Dp，横向( 水平) 铰链扭转刚度相应地分别设定为0． 5 Dp，2． 5 Dp， 10 Dp， 50 Dp， 250 Dp; 这里Dp为柔性板的弯曲刚度．
        本文在模态分析时，设定连接三角架、太阳帆板驱动机构和固定边界的刚度时相对柔性板和柔性铰链大得很多，接近于刚体情况．分别对几种不同的水平及竖直铰链刚度情况下的铰接板模型进行模态分析，分别得到铰接三块板的前五阶振动模态曲面和模态频率．
        对于铰链连接组成的三块组合板的前五阶模态的频率如表2 所示． 这里分别针对铰链扭转刚度不同情况下，按着模态频率由小到大排列给出前五阶模态的频率和模态曲面． 表2 中的铰链刚度分别为水平铰链扭转刚度和竖直铰链扭转刚度的组合情况下的模态频率．
        当设定竖直铰链和水平铰链的扭转刚度分别为0． 05 Dp － 0． 5 Dp时，三块铰链连接组合基板的模态曲面分别为图3( a) ～ ( e) 所示，它们分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和四阶弯曲模态．
        当刚度分别为0． 25 Dp － 2． 5 Dp时，前五阶模态仍然分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和四阶弯曲模态． 从表2 可知，振动模态频率随着铰链刚度的提高而增大．分别设定竖直铰链和水平铰链扭转刚度1 Dp－ 10 Dp情况，铰接柔性板结构的前五阶模态分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和二阶扭转模态，第二阶扭转模态曲面如图3( g) 所示．
        当铰链扭转刚度为1 Dp － 50 Dp时，前五阶模态分别为一阶弯曲、二阶弯曲、一阶扭转、三阶弯曲和四阶弯曲模态． 从表2 可知，相比铰链的扭转刚度为1 Dp － 10 Dp时的情况可知，当仅增加水平铰链的扭转刚度时，不会影响系统的前三阶弯曲模态的频率; 但第一阶和二阶扭转模态的频率都会增加，并且第二阶扭转模态频率高于其第四阶弯曲模态的频率．当铰链的扭转刚度分别设定为5 Dp － 50 Dp时，前五阶模态分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和二阶扭转模态．竖直铰链扭转刚度的增加使得第四阶弯曲振动模态频率增加，高于二阶扭转振动模态频率． 当铰链扭转刚度分别为5 Dp － 250 Dp时，前五阶模态分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和二阶扭转模态．从表2 可知，当竖直铰链和水平铰链的扭转刚度大到一定时，铰链连接处接近于刚性连接了．
        这时，不会因为继续增大水平铰链的扭转刚度而改变模态曲面的排序，只是会增大扭转模态的频率． 比较图3( d) 和( f) 的模态曲面可知，当铰链的扭转刚度较小时，模态曲面在铰链处过渡相对容易出现棱角，此时铰链的扭转变形较大; 当铰链扭转刚度较大时，过渡相对圆滑，此时铰链的扭转变形较小，特性主要为柔性板的变形． 并且铰链扭转刚度越小，模态频率越低．对应图3 相应的铰链刚度条件，给出的铰接板结构应变分布云图如图4 所示．
        从应变分布云图可知，第一阶弯曲模态的应变在柔性板上越靠近三角架铰链处越大; 第二阶弯曲模态在柔性板中间铰链附近较大; 第四阶弯曲模态在铰链10 附近较大，第五阶弯曲模态的应变在铰链处较大; 扭转模态也是在铰链处较大．
        具体的应变分布情况和铰接板的模态振型有关，这与单块悬臂板的情况不同． 因此，如果想通过压电陶瓷片进行铰接柔性板结构的主动振动控制，应该将其粘贴在柔性板靠近铰链处． 并且，抑制不同的模态的振动要根据应变分布图粘贴．对于三块铰接板情况，对竖直铰链对4、6、8 和10 的各个铰链扭转刚度不同时对模态的影响进行了计算，竖直铰链扭转刚度不同时前五阶模态频率的计算值如表3 所示． 这里水平铰链2 的扭转刚度设定为50 Dp，竖直铰链4、6、8 和10 的扭转刚度有3 对设定为1 Dp，其中某一对扭转刚度设定为5 Dp或10Dp; 表3 中5( 1) Dp表示竖直铰链4 的扭转刚度设定为5 Dp，括号数字1、2、3 和4 分别指竖直铰链4、6、8 和10，括号前面的5 或10 代表该铰链的刚度设定为5 Dp或10Dp ． 与1 Dp － 50 Dp的铰链扭转刚度情况，即竖直铰链扭转刚度全部为1 Dp相比较．比较可知，对应于第一阶弯曲模态，靠近三角架的铰链刚度越大，铰接板的第一阶弯曲模态频率越高． 但对于高阶弯曲模态频率的具体影响还与模态形状有关． 总之，增加任意对竖直铰链的刚度，都会使弯曲模态频率增加． 竖直铰链对6 刚度的增加对于扭转模态的频率有所增加，其它竖直铰链刚度的增加对铰接板结构扭转模态的频率影响基本不大．这里铰接四块组合板的情况是在三块组合板的基础上增加了一对铰链和一块板，具体尺寸和图1中铰链及单块板的相同． 对于铰链连接四块柔性板的前五阶模态的频率如表4 所示． 表4 的铰链刚度分别为水平铰链和竖直铰链扭转刚度组合情况下的模态频率．
        竖直和水平铰链扭转刚度分别为0． 05 Dp － 0． 5 Dp，0． 25 Dp － 2． 5 Dp，1 Dp － 10 Dp，1 Dp － 50 Dp，5Dp － 50 Dp和5 Dp － 250 Dp时，前5阶模态的固有频率． 模态频率随着铰链刚度的增加而增大． 但竖直铰链的刚度不变时，增加水平铰链扭转刚度，仅增加扭转模态的频率，弯曲模态的频率保持不变． 这表明铰链柔性板的弯曲和扭转模态具有相对的独立性，是可以通过合理的配置传感器和驱动器实现其检测和控制．
        模态曲面如图5 所示，其中图5( a) ～ ( e) 分别对应竖直和水平铰链刚度分别为1 Dp － 10 Dp时，按着模态频率由小到大排列给出前五阶模态的频率和模态曲面． 它们分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和四阶弯曲模态． 图5( f)所示铰链刚度为5Dp －50Dp时第五阶模态曲面．当铰链的刚度分别为5 Dp －50 Dp，5Dp －250 Dp时，前五阶模态分别为一阶弯曲模态、二阶弯曲模态、一阶扭转模态、三阶弯曲模态和二阶扭转模态．相比几种情况可知，铰链的刚度影响模态的分布和模态频率．铰接四块板计算结果相比铰接三块板情况可知，随着板数量的增多，铰接多块板结构的前几阶振动模态中分布的弯曲模态数量相对增多，且模态分布与铰链的扭转刚度有很大的关系． 从表3 和表4中铰链刚度分别为1 Dp － 50 Dp和5 Dp － 50 Dp这两情况的铰接板模态数据表明，竖直铰链主要影响弯曲模态频率，但也影响扭转模态频率．
        4 结论
        本文针对航天器太阳帆板这种由柔性铰链连接的柔性板结构，给出了一种铰接柔性板的简化物理模型． 并针对该简化形式的铰接柔性板的有限元方法建模思路进行分析，即考虑采用四节点板单元，在柔性铰链连接处简化为扭转弹簧单元，进行装配得到系统的动力学模型． 利用该方法建模可用于控制分析． 利用有限元软件对铰接柔性板的振动模态进行了分析． 针对铰接三块板和铰接四块柔性板结构的在不同铰链刚度顷刻下，给出了前五阶振动模态的模态曲面、应变分布云图和模态频率，并分析了柔性铰链刚度对振动的模态曲面和模态频率的影响．为今后该类结构振动控制时的传感器和驱动器优化配置、控制方案的实施提供振动模态特性方面的参考．