电磁混合轴承的稳态承载特性及控制

电磁轴承( MB) 和气体箔片轴承( 简称箔片轴承FB) 作为两种典型的高速支撑方式，具备各自的优势和劣势． 电磁轴承用电磁力支撑转子，无接触，彻底消除了磨损，无需润滑与密封，轴承状态可控可观，但由于材料的磁饱和发热等原因，无法进一步提高承载能力． 箔片轴承作为另一种高速支撑方式，结构简单，具有良好的自适应性，可以在高温、高速条件下长期运行，但在转子的起停阶段，箔片和轴颈之间发生接触摩擦，容易导致箔片或轴颈上的涂层剥落，降低了轴承的使用寿命．
箔片－ 电磁混合轴承( HFMB) 将两者混合使用形成优势互补，不但可以提高轴承的承载能力，改善系统动力学性能，又可以实现两种轴承之间载荷的分配，在电磁轴承突然失效时，箔片轴承还能够充当保护轴承，是高速旋转机械的一种理想支撑方式．然而，对于径向箔片－ 电磁混合轴承，箔片轴承和轴颈必须存在偏心才能提供稳态承载力，而采用传统PID 控制方式的电磁轴承的轴颈和轴承的中心是重合的． 为了解决上述矛盾，使混合轴承能够按照预定要求对两种轴承的载荷进行分配，提高整体承载力，需要针对箔片－ 电磁混合轴承提出新的控制方法． 在这个方面Heshmat 等学者做了卓有成效的研究工作，采用的控制方法如下:
①根据载荷分配比例及工作转速，通过计算或实验测量得到箔片轴承在该工况下的稳态工作位置．
②启动阶段，由电磁轴承单独支撑转子升速．
③当转速超过箔片轴承的起飞转速后，根据第①步的结果，通过电磁轴承将转子调整到箔片轴承的稳态工作位置．
④改变电磁轴承PID 控制参数调整电磁轴承的动力学特性．
⑤停机阶段，电磁轴承单独支撑转子，并移动转子至轴承的几何中心减速到停机． 实验表明此方法实用有效，但该方法必须预先确定箔片轴承在特定载荷和转速下的稳态工作位置，一旦载荷或转速发生变化，需要重新计算或实验标定箔片轴承的稳态工作位置，同时还要修改控制程序． 为了提高效率，避免大量重复性的工作，有必要寻找更便捷方法确定箔片－ 电磁混合轴承的稳态工作位置，解决其稳态控制问题．针对上述问题，本文首先分析了箔片－ 电磁混合轴承的稳态承载特性，利用电磁轴承的承载力和工作位置可以在线观测和调节的特点，将箔片轴承的稳态气膜力看作电磁轴承的载荷，设计了箔片－电磁混合轴承的稳态控制器． 针对箔片－ 电磁混合轴承稳态工作位置的寻找问题，提出了一种基于平面等边三角形域划分的搜索算法，该算法不受限于箔片轴承的载荷、转速以及结构参数，能够快速完成混合轴承的稳态工作位置的搜索． 最后建立了箔片－ 电磁混合轴承－ 转子系统及其控制器的两自由度仿真模型，通过仿真验证了控制系统的有效性和可行性．
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箔片－ 电磁混合轴承的稳态承载特性分析箔片轴承和电磁轴承的稳态承载特性以及载荷在两者之间的分配问题．
1． 1
箔片－ 电磁混合轴承文中所述的径向箔片－ 电磁混合轴承结构如图1( a) 所示． 箔片轴承包含1 片顶层箔片和4 片底层拱箔，箔片固定在电磁轴承磁极和轴承座形成的内圆与转子之间的气隙内． 内圆上开有斜槽，箔片的固定端插入斜槽内并通过销钉固定，另一端为自由端，转子旋转时，在整个内圆形成气膜． 箔片用非导磁材料，避免对电磁轴承的工作产生影响． 混合轴承中的箔片轴承如图1( b) 所示，电磁轴承如图1( c) 所示．
1． 2 箔片轴承的稳态承载特性箔片轴承的承载特性由气膜的特性和箔片轴承的结构特性两部分决定，箔片轴承特性需要联立求解气体Reynolds 方程和箔片弹性变形方程得到．所示，当转子以速度ω 旋转时，位置( φ，z) 处的气膜压力p( φ，z) 由等温条件下可其中ρ 为气体密度，h 为气膜厚度，μ 为气体动力黏度，R 为轴颈半径，φ 为圆周方向的坐标，z 为轴向方向坐标． 式( 1) 中气膜厚度h 通过式
( 2) 计算．h = c + ecos( φ － θ) + hd( 2)其中c 为半径间隙，e 为偏心距，θ 为偏位角． hd为顶层箔片受力产生的弹性变形气隙，当顶层箔片上气膜压力为p( φ，z) ，底层拱箔接触反力为w( φ，z)时，hd的表达式为:hd =Ap( φ，z) ft( φ，z ，φ0，z0) dφdz －Atbw( φ，z) ft( φ，z，φ0，z0) dφdz
( 3)其中ft为顶层箔片的柔度系数，Atb为顶层箔片与底层拱箔的接触区域． 区域Atb内，顶层箔片和底层拱箔产生的径向变形应当满足如下的位移协调条件:Ap( φ，z) ft( φ，z ，φ0，z) dφdz =Atbw( φ，z ) ，ft( φ，z，φ0，z0) dφdz +Atbw( φ，z) fb( φ，z，φ0，z0) dφdz
( 4)其中fb为底层拱箔的柔度系数． 需要说明的是，对于底层拱箔来说，除了w( φ，z) 之外，还受到来自轴承座的支反力和摩擦力及来自顶层箔片的摩擦力的作用，其影响可以在系数fb中计入，此处不再赘述．联立求解方程便可得到气膜压力分布p，积分得到承载力Ff以及偏心距e 和偏位角θ．
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电磁轴承的稳态承载特性如图1( c) 所示的径向电磁轴承，采用对称的功放电，轴承的几何中心为Ob，轴颈的几何中心为Oj ． 轴颈位置为qB =［x，y］T 时的电磁轴承控制电流为I = ［ix，iy］T，则X 方向和Y 方向的电磁力如式( 5) 所示．Fmx = μ0AN24 cosΨ I0 + ixC0 + ( ) x2－ I0 － ixC0 － ( ) x2;Fmy = μ0AN24 cosΨ I0 + iyC0 + ( ) y2－ I0 － iyC0 － ( ) y2( 5)其中μ0为真空磁导率，N 为电磁轴承线圈匝数，A为转子铁芯与气隙的横截面积，I0为偏磁电流，C0为名义气隙． 可以看出，电磁轴承的稳态承载力是轴颈位置qB和控制电流I 的函数．
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箔片－ 电磁混合轴承承载力分配箔片－ 电磁混合轴承工作时，承载力FB为箔片轴承承载力Ff和电磁轴承承载力Fm之和． 在没有其他外力的情况下，径向箔片－ 电磁混合轴承的稳态承载力即为转子重力G，设载荷分配系数λ =FmG2 箔片－ 电磁混合轴承的稳态控制如前言所述，若采用文献的方法从箔片轴承的角度出发对箔片－ 电磁混合轴承进行稳态控制，必须预先对箔片轴承的稳态特性进行计算或实验，当工况或轴承参数改变时，以上的工作都需要重新进行，费时费力． 若从电磁轴承的角度出发确定箔片－ 电磁混合轴承的稳态工作位置，则可以大大简化控制过程． 首先，电磁轴承的状态可观，轴颈位置qB和线圈电流可在线测得，即可得到轴颈在不同位置处电磁轴承的承载力Fm． 其次，电磁轴承的可控，轴颈的稳态工作位置可以通过改变电磁轴承的参考位置q0来调整． 这样就可以通过改变轴颈位置并确定电磁轴承力的方法搜索和确定预定分配载荷下混合轴承的工作位置．
2． 1 稳态控制器
箔片－ 电磁混合轴承控制系统． 控制系统由两个环路: 瞬态控制环路和稳态控制环路． 瞬态环路由PID 控制器实现，使转子稳定的工作在参考位置q0处; 稳态环路由稳态控制器实现，其功能是读取载荷分配系数λ、转速ω、轴颈位置qB以及电磁轴承控制电流I 参数，根据搜索算法给出转子的参考位置q0，并转换为相应的参考电压U0 ．控制流程: 稳态控制流程图如图3 所示，虚线框内为搜索算法流程，搜索算法输出的离散信号通过保持器与瞬态控制环路连接． 记当前时间为kT( k =0，1，2…) ，T 为稳态控制的采样周期． 每隔1 个时间T，稳态控制器对轴颈位置qB和电磁轴承控制电流I进行1 次数据采集，记采集时长为t0 ． 计算t0内电磁轴承实际承载力的平均值Fm( k) 输出至寄存器，然后将载荷分配系数λ 以及寄存器内数据带入搜索算法得到下一个参考位置q0( k + 1) ，以上计算所消耗的时间记为t1 ． 保持器保持信号q0并将其转化为电压U0输出到瞬态控制回路，记瞬态控制环路使轴颈到达并稳定工作在参考位置q0处所需要的调节时间为t2，则时间周期T 内，转子的稳态工作位置由q0( k) 变化为q0( k + 1) ．T 的取值大小应保证系统能够完成转子位置和线圈电流的采集和电磁力的计算，以及改变参考位置后转子在电磁轴承作用下从瞬态响应过渡到达稳态的过程．
一般来说，如果箔片轴承不发生更换且工况不发生变化的情况下，搜索只需进行1 次，将相应的搜索结果建立数据库即可．
2． 2 箔片－电磁轴承稳态工作位置的搜索算法
为简化计算，本文中采用最简单的面单元－ 等边三角形作为基本单元对轴颈的工作区域进行分割，判断不同区域内的电磁轴承承载力分布是否满足控制要求，通过对区域的不断搜索和细化最终得到箔片－ 电磁混合轴承稳态工作位置．初始区域: 所示为混合轴承轴颈工作区域示意图． 搜索算法的初始区域为如图4( b) 所示的Δ123，三角形顶点1、2、3 为轴承边界圆内接任意等边三角形各边的中点． 取Δ123 作为初始区域，是基于以下考虑: 若初始区域的面积取值过大，轴颈与箔片间隙太小，容易发生碰磨导致失稳; 取值过小，承载力变化不明显，会导致搜索时间过长． 设三角形各顶点处的电磁轴承承载力为Fm( k) =［Fmx( k) ，Fmy( k) ］T，k = 1，2，3． 当电磁轴承力满足式( 7) 的精度条件时，算法终止． 算法流程如下:( 1) 移动转子到初始三角形区域的各个顶点，计算各顶点处的电磁轴承力并保存至存储器;
( 2) 根据存储器内电磁轴承力的大小确定新区域，若新区域在当前区域内进入第4 步，否则进入第3 步;
( 3) 移动转子到新三角形区域的顶点，计算新顶点处的电磁轴承力并保存至存储器，进入第2 步;
( 4) 细化当前区域以得到新区域，判断区域面积是否满足终止条件，如满足则算法终止，否则进入第3 步．确定新区域过程: 设分配给电磁轴承的期望载荷为Fms =［Fmsx，Fmsy］T，则三角形区域各顶点处电磁轴承载承力Fm( k) 与期望载荷之间的载荷差为Fme( k) = Fm( k) － Fms =［Fmex( k) ，Fmey( k) ］T，载荷差的模为Fe( k) = | Fme( k) |，k = 1，2，3． 根据介值定理判定新区域，定义三角形区域各边的符号系数:若该边两顶点处载荷差正负号相同取0，不同取1，每个边的符号系数为两个，分别由X 和Y 方向的载荷差决定． 则符号系数可能出现的组合方式为图5所示的( a ～ d) 4 种，此处顶点1、2、3 的排列顺序对判断无影响，且“01”与“10”等效．情况: 新三角形区域与当前三角形区域大小相同，将各边两顶点处载荷差的模相加，找出min( Fe( 1) + Fe( 2) ，Fe( 2) + Fe( 3) ，Fe( 3) + Fe( 1) ) ，最小值所在边为新区域与本区域的公共边．( b) 情况: 新三角形区域与当前三角形区域大小相同，将“01”所在边两顶点处载荷差的模相加，找出最小值，最小值所在边为新区域与本区域的公共边． 以图为例即找出min［Fe( 1) + Fe( 2) ，Fe( 2) + Fe( 3) ］．( c) 、( d) 情况: 新三角形区域在当前三角形区域内，取当前三角形区域各边中点为新三角形区域的顶点．
3 系统仿真
3． 1 仿真模型
轴承、转子和控制器参数建立系统的两自由度动态仿真模型，给定工作转速为15 000 r /min． 由于箔片轴承的动态刚度和阻尼系数随静态工作点而变化，因此，在仿真过程中，每次移动转子位置后都要重新给定箔片轴承的动态刚度和阻尼系数，具体计算方法参见文献． 用MATLAB /Simulink 建立的仿真系统如图6 所示，瞬态控制环路采用PID 控制器，电磁轴承动态刚度和阻尼系数的计算可参见文献，稳态控制器采用S － Function 编写并通过方波脉冲信定时号触发．在实际系统中，稳态控制器和搜索算法本身并不需要已知箔片轴承的静态承载力和动态刚度和阻尼系数，只是为了仿真箔片轴承的静、动特性，需要预先计算并存储，然后在仿真过程的每一步根据需要调用．
3． 2 稳态工作位置搜索仿真
设转速稳定在15 000 r /min，轴颈的初始位置在轴颈的几何中心，仿真求解器为固定步长三阶Runge － Kutta 法，采样周期T = 1 s，仿真时长100 T，仿真步长为5 × 10 － 4 T． 用图6 所示的仿真系统对箔片－ 电磁混合轴承进行稳态工作位置的搜索实验，来验证不同情况下控制算法的有效性和收敛性． 仿真了稳态控制器输出采用零阶保持和一阶保持时系统的瞬态响应过程．
3． 2． 1 稳态控制器输出零阶保持
由上文可知，稳态控制器根据搜索算法输出转子工作的参考位置，在每个仿真时长T 末，输出信号发生阶跃变化，改变到新的参考位置并一直保持．图7( a) 、7( b) 和7( c) 分别给出了搜索过程中转子轴颈中心的轨迹、电磁轴承控制电流和电磁轴承承载力随时间的变化( λ = 0，无量纲位移x0 = x /C，y0 = y /C) ． 从图7 中可以看出，虽然稳态控制器最终找到了箔片－ 电磁混合轴承的稳态工作位置，但在轴颈位置变化过程中，控制电流最大达到了25 A，超出了实际功放的输出的最大值10 A，仿真中的电磁力达到几千牛在实际中无法达到，因此这种方法是无效的．
3． 2． 2 稳态控制器输出一阶保持
稳态控制器输出采用一阶保持器时，给定的电磁轴承参考位置以斜坡方式变化，变化过程较缓慢，轴承转子系统能够跟踪这种慢变过程． 图8 所示为λ = 0，0． 5，1 时的仿真结果． λ = 0 箔片轴承提供转子全部承载力，λ = 0． 5 各承担一半，λ = 1 电磁轴承提供全部承载力．通过有限次的移动后，搜索算法总能确定箔片－ 电磁混合轴承稳态工作位置，轴颈中心的坐标分别为( 0． 09，0． 34) ，( 0． 05，0． 18) 和( 0，0)．搜索过程中电磁轴承控制电流和电磁轴承承载力随着稳态工作位置的确定而趋于稳定值． λ = 0 时电流最终稳定在ix = 0． 07 A，iy = 0． 26 A，电磁轴承的承载力稳定在Fmx = Fmy = 0 N，控制电流只用来维持转子位置而不提供承载力． λ = 0． 5 时，电流为ix =0. 03 A，iy = 0． 42 A，电磁轴承的承载力为Fmx =0 N，Fmy = － 30 N，与转子重量一半的误差不超过1%． λ = 1 时电流为ix = 0 A，i y = 0． 60 A，电磁轴承提供的稳态承载力Fmx = 0 N，Fmy = － 62 N，用来支撑全部的转子重量，与转子总重的误差为2%．
3． 2． 3 存在不平衡时的稳态控制
一般情况下，由于加工精度有限，转子总是存在不平衡量，小型高速转子的不平衡精度等级要求为G1，按平衡精度G6． 3 在系统中加入不平衡力进行仿真． 图9 所示为存在不平衡量时的搜索结果( λ =0，稳态控制器输出一阶保持) ．从图9( a) 中可以看出，即使在G6． 3 的平衡精度下，控制系统仍然能够找到箔片－ 电磁混合轴承的稳态工作点． 同时，虽然图9( b) 和图9( c) 的控制电流及电磁力随动不平衡力交变，但是其直流分量与图8 中λ = 0 时情况基本相同，说明系统中存在的动态不平衡力不会影响搜索算法的收敛性．综上，尽管在动态不平衡力作用的情况下，电磁轴承分配的载荷会发生一定变化，但本文采用的搜索算法均可以在较短时间内( 小于80 个周期) 完成对混合轴承稳态工作位置的搜索，且在搜索过程中由于转子位置缓慢变化，电磁轴承的线圈电流( I0 +ix，y) 控制在有限范围内，最大不超过5． 5 A，只是功率放器最大输出电流的一半稍多．
4 结论
a． 根据箔片－ 电磁混合轴承的稳态承载特性，设计了箔片－ 电磁混合轴承的稳态控制器． 利用电磁轴承工作状态可观、可控的特点，提出了一种基于平面等边三角形区域划分的搜索算法，无需箔片轴承稳态参数即可实现对箔片－ 电磁混合轴承稳态工作位置的定位，大大简化箔片－ 电磁混合轴承的稳态控制过程． 仿真实验的结果表明，稳态控制系统在实现载荷分配的同时能够快速准确的完成对混合轴承稳态工作位置的搜索，并且保持电磁轴承线圈的电流在搜索过程中均处在合理的范围内．
b． 给出了一种承载力分配的搜索算法，算法的稳定性还需进一步深入研究． 目前，已经建立了由两个径向箔片－ 电磁混合轴承支撑的高速电机实验系统，并开展了部分前期实验，验证了混合轴承转子系统在0 ～ 24 000 r /min 转速范围内的稳定性． 对本文所提出的稳态控制器的实验验证将在后续研究中进行，并给出进一步的实验结果．