可操舵轮舵机手轮的移动机器人运动学建模

        刚体在平面上实现自由运动即以任意位姿沿任意路径运动必须有3 个自由度, 即2 个位置自由度和1 个方位自由度。但通常所见的各种轮式车辆包括汽车都只有2 个独立的驱动和控制单元, 即均是2 个自由度的系统。因此, 车体在整个连续运动过程中, 不能既控制其位置又控制其方位。
        也就是说,让车体保持一定的方位, 就不能使车体沿任意方向运动。目前, 普遍使用的是2 自由度行走机构, 但2自由度移动机器人不能同时控制车体的位置和方位, 不具备良好的灵活性和机动性。当它在较为狭小的空间中作业时就不易实现指定任务, 例如, 泊车问题或移动机器人处于需要在运动过程中时常调整车体方位的狭长地带等。这时需要移动机器人具有3 个或3 个以上的自由度, 对车体的位置和方位能独立地进行控制, 可以以一定姿态沿任意的方向运动, 实现平面上的自由运动, 成为全方位移动机器人。
        3自由度移动机器人的全方位性, 主要是指它具有能同时并独立控制车体的回转运动和平移运动的能力, 这主要依靠舵机手轮轮系机构来实现, 如麦卡姆轮机构、正交轮机构、球轮机构、可操舵驱动轮机构等。可操舵驱动轮与其它轮系机构相比, 具有制造成本低、结构简单、易于控制、运行平稳等优点,在工业、物流等领域中得到较广泛的应用。当移动机器人具有n( n \2) 个可操舵驱动轮SDW( Steerableand Drivable Wheel) 时, 它可以实现平面上的自由运动, 即具有3 个自由度。本文针对由常规轮所构成的包含有舵机手轮可操舵轮的几类移动机器人的运动学建模问题, 基于坐标变换法, 提出了一种解决具有舵机手轮可操舵驱动轮的移动机器人运动学建模的通用方法, 建立了它在满足理想运动约束条件下的运动学模型, 并以具有2 个可操舵驱动轮的3 自由度移动机器人为例给出了运动学仿真结果。
        1 坐标系的建立
        移动机器人的运动轨迹是一条二维平面曲线,可用y= f ( x ) 描述, 也可用x ( t ) , y ( t ) 描述, t 是时间参数。对于3 自由度移动机器人而言, 它可以以任意姿态跟踪任意曲线。设车体位姿描述方程为:N( t ) = [ x ( t) y ( t) H( t) ] T ( 1)则车体在t 时刻的线速度v 和角速度X 如下:v = (x 2 + y 2 ) 1/ 2 , X= H ( 2)针对具有n 个可操舵驱动轮的移动机器人的运动学建模问题, 其坐标系及位姿矢量:N= [ x y H]T2Og 是固定在大地上的全局坐标系, 2 Or 是固定在移动机器人上的坐标系, 其原点与车体中心对称点GP 重合, Yr 轴与车体长度方向一致。CR 是i 个车轮的位置几何中心, GP 为车体中心线上的一点, 它作为车体的参考点也称为导引点, 该点的运动轨迹就是车体的运动轨迹。
        2 运动学建模
        移动机器人的运动学建模问题解决的是参考点(GP) 的定位问题, 即在已知车轮的舵机手轮操舵角Bi 和驱动速度vi 的情况下, 求解GP 点的位置及车体方位变化率x ( t ) ,y ( t ) ,H( t) 。运动学中一个重要的基本定理是, 一个平面刚体在每一时刻的运动不是绕某一瞬时回转中心ICR( Instantaneous Center o f Rotation) 做回转运动就是做平移运动, 平移运动可以视为ICR 在无限远处的回转运动。移动机器人作为在平面上运动的刚体, 它每一时刻都在做绕ICR 的回转运动, 也就是说任意一点速度矢量的垂线相交在ICR。这就是移动机器人的运动几何约束。求解移动机器人的运动学正解就是对参考点进行速度方向解析和速度解析。
        2. 1 速度方向解析
        对于具有n 个可操舵驱动轮的移动机器人而言, vi 为轮i 的驱动速度, 轮i 轮心在2Or 中坐标为( x r i , y ri ) , ICR 在2 OWi 中的坐标为( r Ii , 0) , r Ii 的绝对值| r Ii | 为轮i 瞬时回转半径, hc、h分别是ICR 在2Or 中的坐标, v 是车体参考点GP(Or ) 的速度。将GP 点沿v 方向虚拟成一个中间轮, B为虚拟轮的操舵角, 它与GP 点的速度方向及车体前进方向的夹角相等, 即体现车体速度方向与车体前进方向不一致的程度, rI 是虚拟轮的瞬时回转半径。通过上述分析可以认为GP 点在每一时刻绕ICR 做回转运动。
        已知Bi 和v i ( i= 1, 2, ,, n) ,速度方向解析求解B和r I。图3 中的结构可以等同为一并联机构, 2 Or 可以依次沿轮i 和虚拟轮经过一系列平移和回转运动返回原处。沿轮i 的运动序列为: 先沿X r 轴和Yr轴平移x ri , y ri 运动至i 轮中心处, 绕i 轮中心做一回转运动( 转角Di = f ( Bi ) ) 使坐标系与车轮坐标系2OWi方向一致, 再沿各自车轮坐标系的YW 轴和X W 轴方向平移r Ii 运动至ICR 处, 绕ICR 反转Di ,再沿X r 轴和Yr 轴做平移运动至车体坐标系原点Or , 与车体坐标系重合。
        沿虚拟轮的运动序列为: 绕Or 做一回转运动( 转角Dc= f (B) ) 使坐标系与虚拟轮坐标系方向一致, 沿车轮面垂线方向做一平移运动至ICR 处, 绕ICR 反转Dc, 再沿X r 轴和Yr 轴做平移运动至车体坐标系原点Or , 与车体坐标系重合。这一系列运动可以用坐标变换来表示, 则舵机手轮车体坐标系2 Or 对自身的齐次变换有以下分解形式。由图3 可看出, 如果任意两个车轮j 1、j 2 的操舵角确定后, j 1 、j 2 的瞬时回转半径的交点就是ICR, 那么根据其操舵角、I CR 以及操舵轴轴心位置可以得到其余车轮的操舵角Bi ( i X j 1 , j 2 ) 。
        设已知轮j 1、j 2 的操舵角Bj1、Bj2 , 求解式( 3) ( 4) 方程, 根据矩阵相等原则, 可以解出hc、h 以及所有车轮( 包括虚拟轮) 的瞬时回转半径r Ii ( i= 1, 2, ,, n) 如下:hc = [ sinBj1 cosBj2 x r j1 - co sBj1 sinBj2 x rj2 -cosBj1 cosBj2 ( y rj1 - y rj2 ) ] / sin( Bj1 - Bj2 ) ( 5)h = [ sinBj1 sinBj2 ( x rj1 - x r j2 ) - cosBj1 sinBj2 y rj1 +sinBj1 cosBj2 y rj2 ] / sin( Bj1 - Bj2 ) ( 6)由式( 5)、( 6) 可得:B= tan- 1 ( h/ hc) ( 7)则:r Ii = cosBi ( hc- x ri ) + sinBi ( h - y r i ) ( 8)r I = ( hc2- h2)1/ 2( 9)解得的B是在2 Or 中的速度方向。
        在2 Og 下车体的速度方向为:Bg = H+ B ( 10)2 自由度移动机器人的瞬时回转中心始终位于机器人坐标系中的X r 轴上, 因此有hc X 0, h = 0。由式( 7) 可得B= 0, 其速度方向与方位一致, 由于速度方向是轨迹的时间函数, 因此其方位也是轨迹的时间函数。
        2. 2 速度解析
        移动机器人的运动可视为平面上的刚体运动,也就是说机器人上任意点的回转角速度都等于绕瞬时回转中心的角速度, 即:H= HWi = v i / r Ii ( 11)由式( 5)、( 6) 可知, 如果其中两个车轮j 1、j 2 的操舵角给定, 那么机器人的瞬时回转中心ICR 的位置就已确定, 由式( 7)、( 8) 可以求出轮i 的瞬时回转半径;
        只要轮j 1、j 2 之一的速度给定, 根据式( 11) 就可求出机器人的回转角速度; 同时根据刚体平面运动性质v i=H@ rIi 就可确定其余车轮的驱动速度。通过上面分析可知, 对于具有n 个SDW 的一类移动机器人, 要实现平面上的自由运动, 至少需要2 个SDW。速度解析求解车体的速度v , 只需给定Bj 1 、Bj 2、v j 1 ( 或Bj 1 、Bj 2、v j 2 ) , 根据式( 11) 通过运动解析得到车体在2Or 中的速度分量如下:vrx = ( vi / rIi ) r IcosBvr y = ( vi / r Ii ) r IsinBHr = vi / r Ii( 12)将式( 12) 通过向全局坐标系2Og 投影得到3 自由度移动机器人的运动学模型:N=x= vrx cosH- v ry sinHy= v rx sinH+ vry cosHH= Hr( 13)
        3 运动学仿真
        描述了刚体可以实现的三种平面运动方式, 即切向运动、恒向运动、一般运动。切向运动是指运动方向与轨迹切线方向一致即与速度方向一致; 恒向运动是指运动过程中运动方向不变; 一般运动可以等价为一个平移运动和一个回转运动的叠加, 此时舵机手轮运动方向可以是任意的。3 自由度移动机器人可以实现以上三种运动方式, 而2 自由度移动机器人只能实现切向运动。以具有两个可操舵驱动轮的3 自由度移动机器人为例, 采用MA TLAB6. 5 进行运动学仿真。
        仿真条件: 速度范围为v1 , v2 I [ 0, 1. 5m/ s] ; 操舵角范围为B1 , B2 I [ - 90b, 90b] ; 初始位姿N= [ 40m, 0, 0]T 。图5a、b 分别是轮1、2 的速度及操舵角曲线。根据式( 13) 得到移动机器人在全局坐标系中的速度分量, 由航位推算法得到图5c 的运动轨迹。是移动机器人的方位及速度方向曲线, 其速度方向就是机器人轨迹曲线的切向, 通过求解式( 10) 获得机器人的方位曲线。由图可以看出, 车体方位和车体速度方向不一致, 车体速度方向是轨迹的切向, 而车体方位是由移动机器人的运动参数决定的, 即式( 11) , 这时移动机器人实现了一般运动。当把两个驱动轮的舵角始终置为相等, 由于非完整运动约束的限制, 两个驱动轮的速度也应相等。图6a、b 分别是轮1、2 的速度及操舵角曲线, 图6c、d 分别是移动机器人的运动轨迹和方位及速度方向曲线。由图6d 可看出, 当轮1、2 的操舵角始终一致时, 车体的方位不发生改变, 与初始方位一致,这时机器人以恒定方位沿曲线运动, 实现了恒向运动。当舵机手轮操舵角恒为零时, 成为差速驱动的移动机器人, 此时只能实现切向运动。对于工业用移动机器人, 要求它在车间或仓库能自由运动并能够实现在工况点精确定位, 与差速驱动或车式的2 自由度移动机器人相比, 3 自由度移动机器人具有更大的灵活性和机动性, 它可以在狭小的空间实现绕任意点转弯、横走等运动功能。
        4 结 语
        3自由度移动机器人可以实现平面上的自由运动, 获得位置和方位的独立跟踪控制, 具有很高的灵活性和机动性。针对具有n ( n \ 2) 个可操舵驱动轮的3 自由度移动机器人的运动学建模问题, 基于坐标变换提出了一种满足理想运动约束条件下的运动学建模通用方法, 并以具有2 个舵机手轮可操舵驱动轮的移动机器人为例进行了仿真验证。